Trigonometrie I



 

Definition der Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

 

 

Bemerkungen:

Kenntnis der Definitionen, Kenntnis der Winkelfunktionswerte für Winkel von 30°, 45° und 60°

Anwendung zum Aufstellen von Lösungsansätzen zur Berechnung in Dreiecken

(Dabei sollte man teilweise im Gegensatz zu den hier aufgeführten Beispielen immer nur wenige Größen berechnen zu lassen.)

 

 

 

 

Beispiele:

Geben Sie für die Winkel α und γ im Dreieck ABC die Formeln für die drei Winkelfunktionen an!


 

 



 

 

 

Berechnen Sie im Dreieck ABC mit γ = 90° die Werte für c, sin α, cos β und für tan β.


 

 



c = 13 LE

sin α = 12/13

cos β = 5/13

tan β = 5/12

 

 

Bestimmen Sie im allgemeinen Dreieck ABC die Werte für sin β, für tan β und für tan α.


 

 



sin β = 4/5 = 0,8

tan β = 4/3

tan α = 4/2 = 2

 

 

 

Wie groß ist ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck, für den gilt:

a) sin α = 0,5

b) tan α = 1

c) cos α = 0,5

 

 



α = 30°

α = 45°

α = 60°

 

 

 

Für welchen spitzen Winkel α gilt: sin α = cos α ?

 

 

45°

 

 

Welche Werte ergeben die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus für einen Winkel von 60°?



 

 

 

Definition der Winkelfunktionen im Einheitskreis

 

 

Bemerkungen:

Kenntnis der Definitionen, Kenntnis der Vorzeichen der Funktionswerte (Quadrantenbeziehungen)

Kenntnis wichtiger Funktionswerte auch für einige größere Winkel

 

 

Beispiele:

Für welche Winkel zwischen 0 und 360° gilt: cos α = 0?

 

90°, 270°

 

 

 

Welche Vorzeichen haben die drei Winkelfunktionen für den Winkel
α = 140°

 

sin α > 0

cos α < 0

tan α < 0

 

 

 

Geben Sie einen Winkel an, für den nur der Tangens positiv ist.

 

z.B 200°

 

 

 

Geben Sie ein Winkelpaar an, für das

a) die Werte des Sinus

b) die Werte des Kosinus

c) die Werte des Tangens übereinstimmen!



 

 



z.B. 40° und 140°

z.B. 40° und 320°

z.B. 40° und 220°

 

 

Winkelfunktionen in allgemeinen Dreiecken, Sinussatz, Kosinussatz

 

 

Bemerkungen:

Kenntnis von Sinussatz und Kosinussatz, Umstellen der Formeln nach allen möglichen Stücken,

Aufstellen von Lösungsansätzen zu vorgegebenen Skizzen

Angeben von Rechenreihenfolgen zur Bestimmung von Stücken in Dreiecken

 

 

Beispiele:

In einem Dreieck gilt sin α = sin γ.

a) Berechnen Sie alle Winkel, wenn gilt: α = 40°

b) Berechnenen Sie alle Winkel, wenn gilt: β = 40°

c) Berechnen Sie c wenn gilt a = 9,2 LE.

 

 



γ = 40°; β = 100°

α = γ = 70°

c = a = 9,2 LE

 

 

 

Stellen Sie die folgende Gleichung nach sin β um:

 

 

 

 

Stellen Sie die folgende Gleichung nach cos α um:

a2 = b2 + c2 – 2bccos α.

 



 

 

 

In einem Dreieck ABC sind die Stücke a, b und β gegeben. In welcher Reihenfolge wendet man nun welche Sätze an um weitere Stücke zu berechnen?



 

 

1) Sinussatz für α

2) Innenwinkelsumme für γ

3) Kosinussatz oder Sinussatz für c

 

 

 

Gegeben sind im gleichschenkligen Dreieck die Größen u und h. Schreiben Sie Gleichungen auf, mit denen man daraus die Größen der Winkel α und β bestimmen kann!


 

 



β = 180° - 2α

 

 

Schreiben Sie einen Ansatz zur Bestimmung von x aus den gegebenen Stücken α, β und y auf!