Logarithmen




Definition und äquivalente Gleichungen



Bemerkungen:

Berechnung einfacher Logarithmen

Anwendung der Definition zur richtigen Ergänzung gegebener Gleichungen

Angabe äquivalenter Gleichungen





Beispiele:

Gegeben ist die jeweilige Gleichung. Geben Sie eine äquivalente Exponentialgleichung an!





a) log3 243 = 5

b) log4 64 = 3

c) log0,5 4 = -2

d) log4 2 = 0,5



35 = 243

43 = 64

0,5-2 = 4

40,5 = 2



Gegeben ist die Exponentialgleichung geben Sie jeweils eine äquivalente Logarithmengleichung an!

a) 27 = 128

b) ab = z

c) 0,112 = y

d) 0,1-12 = t





log2 128 = 7

loga z = b

log0,1 y = 12

log0,1 t = -12



Berechnen Sie!

a) log4 16

b) log0,25 16

c) log5 0,04

d) log10 0,000001

e)

f)





2, denn 42 = 16

-2, denn 0,25(-2) = 16

-2, denn 5-2 = 0,04

-6, denn 10(-6) = 0,000001

-7, denn

-2, denn



Ergänzen Sie in der jeweiligen Gleichung die Variable jeweils so, dass eine wahre Aussage entsteht!

a) log3 x = 2

b) logx 64 = 3

c) logx 0,125 = -3

d) log0,2 x = -3







x = 9

x = 4

x = 2

x = 125


Termumformungen mit den Logarithmengesetzen


Bemerkungen:

Anwendung der Gesetze zum Zusammenfassen von Logarithmen und zur Vereinfachung von Termen



Beispiele:

Schreiben Sie als Summe oder Differenz! Vereinfachen Sie weitgehend! (Alle Variablen seien > 0.)





a) log 100x

b) log4 256x2 - 4

c) log 0,0001x

d) log2 0,125x + log4 64


= log 100 + log x = 2 + log x

= log4 256 + 2 log4 x – 4 = 2 log4 x

= -4 + log x

= -3 + log2 x + 3 = log2 x



e)


=



f)



= 4 + 4 log5 x – 3 log5 y



Fassen Sie zu einem Logarithmus zusammen!





a) log3 11 + log3 x + log3 x2

b) log0,5 0,25 + log2 2x + log2 4x

c) log7 98 + log7 3,5x3

d) log4 x-9 – log4 x11


= log3 (11x4)

= log2 (4·2x·4x) = 5 log2 x2 = 10 log2 x

= log7 (7x)3 = 3 log7 7x

= log4 x-20 = (-20)log4 x



e)


=



f)


=







Gleichungen und Ungleichungen mit Potenzen und Logarithmen



Bemerkungen:

Lösen einfacher Gleichungen und Ungleichungen durch Logarithmieren

Lösen von Gleichungen und Ungleichungen mit Logarithmen





Beispiele:

Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge!





a) 3x + 4 = 85

b) 4x·23-x = 1

c) 23x-5 < 1024

d) 5x – 10x = 0

e) 2x+3 – 2x-1 = 120



3x = 81; x = 4

2(x+3) = 1; x = -3

3x-5 = 10; x = 5

5x(1 – 2x) = 0; x = 0

2(x-1)(16 – 1) = 120; 2(x-1) = 8; x = 4



Lösen Sie!





a) logx 24 + 2 = logx 6

b) log(2x) + log x = 4 + log 2

c) 2 log 3x – log 81x = -2


logx 4 = (-2); x = 0,5

log(x2) = 4; x = 100

log (x/9) = -2, x = 0,09