Exponential- und Logarithmusfunktionen




Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme



Bemerkungen:

Aufbau und Umgang mit dem Wachstums- bzw. Zerfallsgesetz

Halbwerts und Verdopplungszeiten angeben

Berechnung in einfachen Aufgaben





Beispiele:

Eine Bank zahlt auf ein Guthaben einen Jahreszins von 4%.





a) Geben Sie eine Formel an, die das Kapital nach n Jahren beschreibt!


K(n) = K · 1,04n



b) Berechnen Sie das Guthaben nach 2 Jahren!


1 Jahr: 1040 €

2 Jahre: 1081,60 €




Eine Bakterienkultur verdoppelt ihre Anzahl alle 30 min. Um 10:00 Uhr werden 400 Exemplare gezählt.





a) Wie viele Bakterien sind um 12 Uhr vorhanden?


6400



b) Wie viele Bakterien waren um 9 Uhr vorhanden?


100



c) Geben Sie ein Wachstumsgesetz an!


N = N0 · 2t t = Vielfache von 30 min)



d) Geben Sie das Gesetz so an, dass t die Zeit in Minuten beschreibt!








In einem See verdoppelt sich die von Algen bedeckte Fläche bei warmer Witterung alle 4 Tage. Am 5. Juli sind 25% des Sees zugewachsen.





Nach welcher Zeit (in Tagen) ist der See zugewachsen? Welchem Datum entspricht dies?









4 Tage: 50%

8 Tage: 100%

Am 13. Juli ist der See zugewachsen.




Cäsium 137 hat eine Halbwertszeit von 30,1 Jahren (a)





a) Was bedeutet diese Angabe?



Nach einer Halbwertszeit ist die Hälfte des ursprünglich vorhandenen Materials zerfallen.



b) Stellen Sie das Zerfallsgesetz so um, dass man die Halbwertszeit berechnen kann!


;

tH = log0,5 m – log0,5 m0




c) Wie viel Prozent Cäsium 137 sind nach Ablauf von 3 Halbwertszeiten (etwa 90 a) zerfallen?


Nach drei Halbwertszeiten ist noch 1/8 des Materials vorhanden.

Es sind demnach 87,5% zerfallen.




Actinium 225 zerfällt täglich um 6,7%.





a) Geben Sie ein Zerfallsgesetz an!


; t in Tagen



b) Stellen Sie so um, dass man die Halbwertszeit in Tagen errechnen kann!







Die folgende Gleichung beschreibt das Bevölkerungswachstum in einer Region der Erde in Abhängigkeit von der Zeit in Jahren.





N = N0 · 1,05t

Um wie viel Prozent wächst die Bevölkerung in dieser Region in zwei Jahren?





Pro Jahr um 5%

um 10,25%



Exponentialfunktionen



Bemerkungen:

Grundlegenden Verlauf und Eigenschaften kennen

mit einfachen Modifikationen angeben können

einfache Rekonstruktionen



Beispiele:

Ordne die Gleichungen den jeweiligen Graphen zu!


Terme: 0,8x; 2x ; 0,2x






f(x) = 2x

g(x) = 0,2x

h(x) = 0,8x



Geben Sie drei Punkte an, durch die der Graph von y = 2x verläuft!


A(-1; 0,5)

B(0; 1)

C(1; 2) (weitere möglich)




Welche Exponentialfunktion verläuft symmetrisch zum Graphen von y = f(x) = 0,8x?


y = g(x) = 1,25x




Für welche Werte von a ist die Funktion y = ax streng monoton fallend?


0 < a < 1




Welcher geometrische Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen f(x) = a(-x) und g(x) = ax?


f und g gehen bei Spiegelung an der y-Achse ineinander über.




Die Funktion y = a·bx geht durch die Punkte (0; 2) und (1; 6).

Bestimmen Sie die vollständige Funktionsgleichung!


a = 2

6 = 2 · b b = 3

y = 2·3x




Für welchen Wert von c hat y = f(x) = 2x + c eine Nullstelle bei 4?


0 = 24 + c

c = -16




Für welchen Parameterwert a schneidet die Funktion y = 2x – a die y-Achse bei -7?

Wo liegt dann die Nullstelle von f?


-7 = 1 – a ; a = 8

x0 = 3








Logarithmusfunktionen



Bemerkungen:

Grundlegenden Verlauf und Eigenschaften kennen

mit einfachen Modifikationen angeben können

einfache Umkehrfunktionen zu Logarithmus- oder Exponentialfunktionen bestimmen





Beispiele:

Welcher Graph gehört zu welchem Term?




Terme: log0,5x; log2 x; log10 x







f(x) = log2 x

g(x) = log10 x

h(x) = log0,5 x



Welcher Zusammenhang gilt zwischen y = f(x) = loga(x) und y = g(x) = log1/a(x) ?


f geht in g über, wenn man an der x-Achse spiegelt und umgekehrt.




Für welche Basis b ist die Logarithmusfunktion y = logb(x) streng monoton fallend?


0 < b < 1




Bestimmen Sie die Umkehrfunktion zu y = log3(x) + 2.


y = f(-1)(x) = 3(x – 2).