Teilbarkeit natürlicher Zahlen



 

Teiler und Vielfache

 

 

Bemerkungen:

Schüler kennen die Teilerschreibweise a|b und können Teiler- sowie Vielfachenmengen natürlicher Zahlen angeben

Weitere Begriffe wie: echter Teiler, Ergänzungsteiler sollten bekannt sein.

Der Begriff teilerfremd sollte ebenfalls bekannt sein.

 

 

 

 

 

Beispiele:

Gib die Vielfachenmenge an:

a) V2

b) Vielfache der Zahl 23 die kleiner als 120 sind.

c) Vielfache von 17 zwischen 50 und 100

 

 



{2; 4; 6; 8; …}

{23; 46; 69; 92; 115}

{51; 68; 85}

 

 

 

Bestimme die Teilermenge von

a) 42

b) 121

 

 



{1; 2; 3; 6; 7; 14; 28; 42}

{1; 11; 121}

 

 

Gib alle echten Teiler von 24 an!

 

{2; 3; 4; 6; 8; 12}

 

 

 

Gib den Ergänzungsteiler zu 8| 96 an!

 

12

 

 

 

Ein Teiler heißt 6 sein Ergänzungsteiler heißt 9. Wie heißt die dazugehörige natürliche Zahl?

 

 

6 · 9 = 54

 

 

Die Zahl a hat den echten Teiler 12.

a) Nenne 3 Beispiele für die Zahl a!

b) Welche Teiler hat a in jedem Falle noch?

 

 



24; 36; 120

alle Teiler von 12: 1; 2; 3; 4; 6

 

 

Schreibe als Term:

a) 130 ist durch 26 teilbar.

b) 45 ist nicht durch 7 teilbar.

 

 



26 | 130

7 45

 

Teilbarkeit von Summen, Differenzen und Produkten

 

 

Bemerkungen:

Schüler kennen die entsprechenden Sätze und können diese auf entsprechende Aufgabenstellungen anwenden.

Hier könnte man (in entsprechend leistungsstarken Klassen) auch auf Reste eingehen.

 

 

Beispiele:

Gib jeweils eine Zahl für a so an, dass gilt:

a) 6| (37 + a)

b) 8| (47 – a)

 

 



a = 5

a = 7

 

 

Bestimme jeweils die kleinste positive Zahl a, für die gilt:

a) 12 | (a · 8)

b) 24 | (22 · 9 · a)

 

 



a = 3

a = 4

 

 

Durch welche natürlichen Zahlen ist das Produkt aus 7 und 5 teilbar?

 

 

1; 5; 7; 12

 

 

Entscheide und begründe welche Aussagen wahr oder falsch sind:

a) 12 | (36 + 170)

b) 25 | (500 – 51)

c) 9 | (3 · 15)

d) 9 | (21 + 42)

e) 2 | (321 – 79)

f) 8 | (271 · 16)

 

 



falsch, denn 12 | 36 und 12 170

falsch, denn 25 | 500 und 25 ┼ 51

wahr, denn 3 kommt doppelt vor

wahr, denn Restsumme = 9

wahr, denn Restdifferenz = 0

wahr, denn 8 | 16

 

 

Durch welche Zahlen ist die Differenz 481 – 475 teilbar?

 

1; 2; 3; 6

 

 

 

Welchen Rest muss die Zahl a bei Division durch 15 lassen, damit gilt:

a) 15| (127 – a)

b) 15| (127 + a)?

 

 



Rest: 7

Rest: 8

 

Teilbarkeitsregeln

 

 

Bemerkungen:

Schüler kennen die Teilbarkeitsregeln für 2; 3; 4; 5; 6; (8); 9; 10; (11); 25 und können Zahlen auf Teilbarkeit untersuchen.

Schüler können Teilbarkeitsregeln entsprechen kombinieren z.B. Teilbarkeit durch 15; 24; 36.

 

 

Beispiele:

Untersuche auf Teilbarkeit durch 2; 3; 4; 5; 6; 9:

a) 45 024

b) 24 777 812

c) 76 082 478 618 015

 



Q = 15; Teiler: 2; 3; 4; 6

Q = 38; Teiler: 2

Q = 63; Teiler: 3; 5; 9

 

 

 

Für welche Ziffern z gilt jeweils:

a) 4 | 723z

b) 4 | 23z4

c) 3| 67zz

d) 9| 4z22

e) 6| 7z7z

f) 25| 234 6z5

 



2; 6

0; 2; 4; 6; 8

1; 4; 7

1

2; 5; 8

2; 7

 

 

 

Wie viele Nullen muss eine Zahl am Ende haben, damit sie durch 200 teilbar ist?

 

 

3 Nullen, denn 200 | 1000

 

 

Nenne eine Teilbarkeitsregel für die Zahl 15!

 

Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.

 

 

 

Wahr oder falsch?

a) Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 6 und 4 teilbar ist.

b) Eine Zahl ist durch 36 teilbar, wenn sie durch 4 und 9 teilbar ist.

 



falsch, z.B. 24 36

wahr, denn 4 und 9 teilerfremd

 

Primzahlen, Primfaktorzerlegung

 

 

Bemerkungen:

Schüler sollten den Begriff Primzahl kennen, Primzahlen bis 100 angeben oder bestimmen können

Bestimmung der Primfaktorzerlegung von Zahlen, Angabe von Teilern mit der Primfaktorzerlegung

 

 

Beispiele:

Bestimme alle Primzahlen zwischen 60 und 70!

 

61; 67

 

 

Bestimme die Primfaktorzerlegung der Zahlen!

a) 35

b) 72

c) 256

d) 400

 

 



5 · 7

23 · 32

28

24 · 52

 

 

Bestimme über die Primfaktorzerlegung alle echten Teiler der Zahl!

a) 289

b) 230

c) 81

 

 



172; T: 17

2·5·23; T: 2; 5; 10; 23; 46; 115

34; T: 3; 9; 27

 

Kleinstes gemeinsames Vielfaches, größter gemeinsamer Teiler

 

 

Bemerkungen:

Schüler sollten die Begriffe kennen und kgV bzw. ggT bestimmen können, (auf komplizierte Zerlegungen sollte man in TÜ verzichten)

Ergänzungen: eventuell kann hier auch auf Differenzen eingegangen werden

Einfache Sachaufgaben zu ggT und kgV können ebenfalls Gegenstand der Übungen sein.

 

 

Beispiele:

Bestimme den ggT der Zahlen:

a) 8 und 12

b) 2400 und 2405

c) 240 und 360

 

 



4

5 (Differenz)

120

 

 

Bestimme alle gemeinsamen Teiler der Zahlen!

a) 36 und 42

b) 23997 und 23999

c) 400 und 420

 

 



ggT = 6; weitere: 1; 2; 3

ggT = 1;

ggT = 20; weitere: 1; 2; 4; 5; 10

 

 

Bestimme das kgV der Zahlen:

a) 200 und 300

b) 1600 und 2000

c) 19 und 20

d) 24 und 72

 

 



600

8000

380

72

 

 

Welches ist der kleinste Betrag, den man nur mit 20-ct- oder nur mit 50-ct-stücken bezahlen kann? Wie viele Münzen benötigt man jeweils?

 

 

1 €; 5·20ct, 2·50ct

 

 

Zwei Züge einer Modelleisenbahn brauchen jeweils 20s oder 24s für eine Runde. Sie fahren gleichzeitig los.

Nach welcher Zeit holt der schnellere Zug den langsameren ein?

Wie viele Runden hat er dann zurückgelegt?

 




120 s = 2 min

6 Runden