Kongruenz, Vierecke und Prismen



 

Kongruente Figuren

 

 

Bemerkungen:

Begriff: Kongruenz, Kongruenzsätze für Dreiecke

Schrittfolgen für Konstruktionen beschreiben, über Eindeutigkeit entscheiden

kongruente Teilfiguren finden

Eigenschaften der besonderen Linien im Dreieck kennen

 

 

 

 

Beispiele:

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit = 60° und c = 6,7 cm.

Gib eine weitere Seitenlänge des Dreiecks so an, dass dieses eindeutig bestimmt ist! Begründe!

 

 



b = 4,7 cm nach sws oder

a = 7,8 cm nach SsW

 

 

 

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit = 60° und c = 6,7 cm.

Gib eine weiteren Winkel des Dreiecks so an, dass dieses eindeutig bestimmt ist! Begründe!

 

 



b = 70° nach wsw

 

 

Das Dreieck ABC sei durch a = 5 cm, b = 3 cm und b = 70° gegeben. Entscheide, ob es eindeutig bestimmt ist! Begründe!

 

 

nein, kein Kongruenzsatz erfüllt

 

 

 

Begründe, warum die Dreiecke ABM und CDM im Parallelogramm ABCD zueinander kongruent sind!


 

 



AB = CD,

Winkel BAM = Winkel DCM

Winkel MBA = Winkel MDC

damit Kongruenz nach wsw

 

 

Welche Eigenschaften hat der Punkt, in dem sich die Mittelsenkrechten eines Dreieck schneiden?

 

Umkreismittelpunkt U, er ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt.

 

 

 

Welche Linien des Dreiecks schneiden sich im Inkreismittelpunkt?

 

 

Winkelhalbierende

 

 

 

Beschreibe schrittweise die Konstruktion eines Dreiecks aus a = 4,8 cm,
c = 7,5 cm und b = 80°.

 

eindeutig wegen sws

Zeichne c. Trage b ab. Zeichne a.

 

 

 

 

 

 

 

Vierecke und ihre Eigenschaften

 

 

Bemerkungen:

Vierecksarten unterscheiden und ihre Eigenschaften kennen

Flächeninhalt, Seitenlängen, Umfang, Winkel von Vierecken aus gegebenen Größen bestimmen können

 

 

Beispiele:

Welche Vierecke haben genau zwei Symmetrieachsen?

 

 

Rechteck, Rhombus

 

 

 

In welchen Vierecken stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander?

 

Quadrat, Drachenviereck, Rhombus

 

 

 

Begründe: In einem gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen gleich lang.


 

 

Dreiecke ABC und ABD sind kongruent, denn:

AB (Seite in beiden Dreiecken)

= (Basiswinkel im Trapez)

b = d (Schenkel)

also: e = f

 

 

 

Ein Parallelogramm hat die Stücke: a = 4 cm, b = 6 cm, ha = 4,5 cm.

Berechne den Flächeninhalt!

Berechne hb!

 



 

 

 

Welche Höhe hat ein Trapez, wenn seine Seiten: a = 6 cm, b = d = 5 cm und c = 4 cm und seine Fläche A = 20 cm² betragen?

 

2A = (a + c)h

h = 40 cm² : 10 cm = 4 cm

 

 

Ein Parallelogramm hat die Seiten a = 5,2 cm, d = 4,7 cm und den Winkel = 50°. Gib alle anderen Seiten und Winkel an!

 

 

c = a = 5,2 cm

b = d = 4,7 cm

= = 50°

= = 130° (180° - 50°)

 

 

 

Entscheide, ob wahr oder falsch!

a) Jedes Rechteck ist auch ein Quadrat.

b) Wenn ein Viereck zwei Paar parallele Seiten hat, ist es ein Trapez.

c) Wenn sich die Diagonalen halbieren, so liegt ein Parallelogramm vor.

d) Jedes Viereck mit zwei Paar gleicher Seiten ist ein Parallelogramm.

 



a) falsch

b) wahr

c) wahr

d) falsch (Drachenviereck)

 

 

 

 

 

 

 

Prismen

 

 

Bemerkungen:

Definition von Prismen kennen, Netze und Schrägbilder skizzieren können

Kantenlängensumme, Oberflächeninhalt und Volumen einfacher Prismen berechnen können

Aufgaben zum geometrischen Vorstellungsvermögen

 

 

Beispiele:

Von wie vielen Kanten wird ein fünfseitiges Prisma begrenzt?

 

15

 

 

 

Ein dreiseitiges regelmäßiges Prisma hat die Kantenlängensumme von 1,2 m und ist 20 cm hoch. Wie lang sind die Grundkanten?

 

1,2 m – 0,6 m = 0,6 m

0,6 m : 6 = 0,1 m

 

 

 

Ein dreiseitiges Prisma werde schräg zur Grundfläche durchgeschnitten. Welche der folgenden Figuren sind als Schnittfläche möglich?

Dreieck, Rechteck, Trapez, Quadrat

 




Dreieck, Trapez

 

 

 

Ein gerades Prisma hat als Grundfläche ein Quadrat mit dem Flächeninhalt von 36 cm² und ist 12 cm hoch.

a) Gib sein Volumen an!

b) Wie groß ist die Kantenlängensumme?

 




V = 360 cm³ + 72 cm³ = 432 cm3

s = 48 cm + 40 cm = 88 cm

 

 

 

Ein Quader werde parallel zur Grundfläche in halber Höhe durchgeschnitten und in zwei Teilkörper zerlegt. Welche Aussagen sind dann wahr, welche nicht!

a) Beide Teilkörper haben gleiche Volumina.

b) Beide Teilkörper haben gleiche Oberflächeninhalte.

c) Ein Teilkörper hat das halbe Volumen des Ausgangsquaders.

d) Ein Teilkörper hat den halben Oberflächeninhalt des Ausgangsquaders.

 

 





a) wahr

b) wahr

c) wahr

d) falsch

 

 

Welche Figuren bilden das Netz eines sechsseitigen schiefen Prismas?

 

zwei kongruente Sechsecke, sechs Parallelogramme

 

 

 

Wie viele Ecken und wie viele Flächen hat ein Prisma, das von 21 Kanten begrenzt wird?

 

 

9 Flächen, 14 Ecken