Die Satzgruppe des Pythagoras



 

Höhensatz, Kathetensatz und Satz des Pythagoras

 

Bemerkungen:

Kenntnis der Sätze und ihrer Gültigkeit nur in rechtwinkligen Dreiecken

Anwendungen in beliebigen, auch anders bezeichneten rechtwinkligen Dreiecken zur Berechnung ausgewählter, gesuchter Stücke

 

 

 

 

Beispiele:

Notiere für das gegebene Dreieck Gleichungen zu den Sätzen:


 

 



Pythagoras: a2 = b2 + c2

Höhensatz: e2 = x·y

Kathetensatz: c2 = a·y; b2 = a·x

Teildreiecke:

c2 = e2 + y2

b2 = e2 + x2

 

 

 

Berechne im Dreieck RST die fehlenden Stücke!


 

 



r = 5 cm

 

 

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenusenabschnitte p = 3 cm und
q = 12 cm.

Wie groß ist seine Höhe?

Wie groß ist seine Fläche?

 

 




h = 6 cm

A = 0,5 · 6 cm · (12 cm + 3 cm)

A = 45 cm2

 

 

 

In einem rechtwinkligen Dreieck unterscheiden sich die Katheten um 2 cm. Eine der Katheten ist 8 cm lang. Welche Möglichkeiten für die Länge der Hypotenuse gibt es?

 

(1) 6 cm, 8 cm 10 cm

(2) 8 cm, 10 cm cm

 

 

 

Liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor? Begründe!




 

 



Ja, denn 225 = 144 + 81

 

 

Berechne die Länge der Katheten im gegebenen Dreieck!




 

 

Angaben in cm

über Kathetensatz:

 

Anwendungen in der Ebene

 

 

Bemerkungen:

Schüler können in einfachen Anwendungen in ebenen Figuren die Sätze effektiv anwenden.

 

 

Beispiele:

Berechne die Diagonalenlänge in einem Quadrat mit der Seitenlänge von LE.

 

 

d = 8 LE

 

 

Ein Rechteck hat die Seitenlängen von a = 0,15 m und b = 8 cm

 

17 cm

 

 

 

Wie weit sind im Koordinatensystem die Punkte A(-6; 4) und B(9; -4) voneinander entfernt?

 

 

17 LE

 

 

Der Punkt P(5; 0) ist 5 LE vom Koordinatenursprung entfernt. Gib einen Punkt mit positiven, ganzzahligen Koordinaten an, der gleich weit vom Ursprung entfernt liegt!

 

 

Q(3; 4) oder Q(4; 3)

 

 

Berechne die Seitenlängen in dem gegebenen Drachenviereck mit e = 12 cm und f = 8 cm. Dabei wird die längere Diagonale e im Verhältnis 1:3 geteilt.


 

 



e1 = 3 cm, e2 = 9 cm,

f1 = f2 = 4 cm,

c = d = 5 cm

a = b = cm

 

 

 

Gegeben ist ein Trapez mit 2 rechten Winkeln (Skizze).


a) Für welche Teilfiguren lässt sich der Satz des Pythagoras nutzen?

b) Schreibe diesen für diese Teildreiecke auf!

c) Berechne a und c aus e = 10 LE, f = 8 LE und b = 6 LE!



 

 













Dreiecke ABC und BCD

e2 = a2 + b2, f2 = b2 + c2

a = 8 LE, c = LE

 

Anwendungen im Raum

 

 

Bemerkungen:

Schwerpunkte sind: Erkennen rechtwinkliger Dreiecke, Berechnung von Längen an und in Körpern

einfache Sachaufgaben.

 

 

Beispiele:

Wie lang ist die Raumdiagonale eines Würfels mit der Kantenlänge 6 LE?

 

Ansatz: d2 = 3a2

LE

 

 

 

Ein Quader hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a und die Höhe h. Seine Raumdiagonale sei mit r bezeichnet.

 

 

 

 

Schreibe eine Formel für die Berechnung von r aus a und h auf!

 

 

 

 

gegeben: e = 12 cm, r = 15 cm, a = 10 cm, gesucht: b, c




 

 



 

 

Passt ein 1 m langer Stab in eine quaderförmige Kiste mit dem Maßen 50 cm, 60 cm und 60 cm?

 

 

nein

r =

r < 1 m

 

 

 

Eine 8 m lange Leiter wird an eine Hauswand gelehnt. Dabei stehen die Füße der Leiter 2 m von der Hauswand entfernt. Weise nach, dass sie die Wand in mehr als 7 m Höhe berührt!

 

m

h > 7 m