Zentrische Streckung und Strahlensätze



 

Eigenschaften der zentrischen Streckung

 

Bemerkungen:

Schüler können in Abhängigkeit vom Streckungsfaktor k angeben, wie sich Winkel, Strecken, Flächeninhalte und Volumina ändern.

Schüler kennen Eigenschaften der zentrischen Streckung.

Die Begriffe Fixpunkt, Fixgerade und Fixpunktgerade sind bekannt.

 

 

 

 

Beispiele:

Gegeben ist eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k = 2. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

 

 

 

 

a) Die Gerade g durch Z ist Fixpunktgerade?

b) Die Gerade g die nicht durch Z geht enthält keine Fixpunkte?

c) Wenn g || h, dann gilt auch g'|| h'

d) Das Bild eines Quadrates ist wieder ein Quadrat.

e) Schneiden sich g und h in S, so schneiden sich g' und h' in S'.

 

falsch

wahr

wahr

wahr

wahr

 

 

 

Gegeben ist (Z; k =2) und ein Dreieck ABC.

a) Wie verändern sich die Innenwinkel bei der Streckung?

b) Wie verändern sich die Seitenlängen bei der Streckung?

c) Wie verändert sich der Flächeninhalt des Dreiecks?

 



bleiben gleich

verdoppeln sich

steigt auf das Vierfache

 

 

 

Bei einer zentrischen Streckung beträgt der Streckungsfaktor k = 1,5.

a) Um wie viel Prozent verändert sich der Flächeninhalt einer Figur?

b) Auf welchen Betrag wächst eine Seitenlänge die vorher 8,4 cm betrug?

 



um 125% (auf 225%)

12,6 cm

 

 

 

Ein Würfel V = 8 cm3 wird mit dem Faktor k = 3 zentrisch gestreckt.

a) Bestimme V'!

b) In welchem Verhältnis stehen die Oberflächeninhalte?

c) Um welchen Betrag vergrößern sich die Seitenlängen?

 



V' = 216 cm³

A' : A = 9 : 1

von 2 cm auf 6 cm also um 4 cm

 

 

 

Der Punkt A ist vom Zentrum einer Streckung doppelt so weit entfernt, wie sein Bildpunkt A'. Die Entfernung zwischen A und A' beträgt 5 cm.

 

 

 

 

a) Wie groß ist der Streckungsfaktor k?

b) Wie weit sind A und A' von Z entfernt?

 

k = 0,5 (oder k = -0,5)

A: 5 cm, A' 10 cm

 

 

 

Bei welchem Streckungsfaktor verkleinern sich die Flächen einer Figur um 19%?

 

 

bei k = 0,9

 

 

Gib Zusammenhang zwischen Bild und Original beim Streckungsfaktor k an!

 

 

 

 

a) für Streckenlängen

b) für Flächeninhalte

c) für Rauminhalte

 

 

l' = |k| · l

A' = k2 · A

V' = |k|3 · V

 

 

Strahlensätze und Streckenteilung

 

 

Bemerkungen:

Schüler können den ersten und zweiten Strahlensatz und können anhand gegebener Figuren Berechnungen durchführen.

Schüler können aus Teilungsverhältnissen Teilstrecken bestimmen und umgekehrt.

 

 

Beispiele:

Eine Strecke von 12 cm werde im Verhältnis 1: 5 geteilt. Wie lang sind die Teilstrecken?

 

12 cm : 6 = 2 cm

2 cm und 10 cm

 

 

Eine 7,2 cm lange Strecke ist so geteilt, dass ein Teilstück 1,8 cm lang ist.

a) Welches Teilungsverhältnis liegt vor?

b) Wie lang ist die andere Teilstrecke?

 



1:3

5,4 cm

 

 

 

Zwei Teilstrecken sind 4 cm und 1,4 dm lang. Gib das Teilungsverhältnis an!

 

 

2 : 7

 

 

 

Gib Verhältnisgleichungen an, die zur folgenden Strahlensatzfigur gehören!


 

 



 

 

 

Berechne die Strecken x und y!


 

 



 

 

Ein 2,4 m hoher Stab wirft einen Schatten von 4 m. Wie lang ist der Schatten eines 6 m hohen Hauses?

 

10 m

 

 

Prüfe, ob die Geraden parallel sind, wenn gilt: A ist 8,8 cm von C entfernt.




 

 



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Ähnlichkeitsätze

 

 

Bemerkungen:

Schüler kennen die Sätze über die Ähnlichkeit in Dreiecken.