Funktionen und Zuordnungen, lineare Funktionen


 

Funktionsbegriff

 

Bemerkungen:

Entscheiden und begründen, ob Funktionen vorliegen

 

 

 

 

Darstellungsformen für Funktionen kennen

 

 

 

 

Beispiele:

Liegen Funktionen vor? Begründen Sie!

Jeder natürlichen Zahl werden ihre Teiler zugeordnet.

Jeder reellen Zahl wird ihr Quadrat zugeordnet.

 



nein, Zuordnung nicht eindeutig

ja, Jede reelle Zahl hat genau eine Quadratzahl.

 

 

Welche der folgenden Graphen gehören zu Funktionen?


 

 



Funktionen sind f, g und h

keine Funktionen sind p und k

 

 

Gib eine Beschreibung der Funktion in Worten an: y = f(x) = 2x – 3

 

Jedem Argument x wird sein um 3 vermindertes Doppeltes zugeordnet.

 

 

Gib eine Gleichung an: Jeder natürlichen Zahl x wird das Quadrat seines Nachfolgers zugeordnet.

 

 

y = f(x) = (x + 1)2

 

Aufgaben zur Berechnung von Funktionswerten, Punktproben

 

Bemerkungen:

Hier sollten die Schüler mit der Schreibweise f(a) = b vertraut werden.

 

 

 

 

Beispiele:

Welchen Wert hat die Funktion y = 4x + 7 an der Stelle x = 5?

 

y = 27

 

 

Berechnen Sie f(3) zur Funktion y = f(x) = 2x – 4

 

f(3) = – 2

 

 

Gehört der Punkt P(3; 7) zum Graphen von f(x) = x2 - 1

 

nein, denn f(3) = 8

 

 

Für welche x gehört Q(x, 3) zum Graphen von y = g(x) = 4 – x

 

2 = 4 – x, x = 1

 

 

Berechnen und vereinfachen Sie zur Funktion y = f(x) = x2 – 2x den Wert f(a + 2)!

 

y = a2 + 4a + 4 – 2a – 4 = a2 + 2a

 

 

 

 

 

 

Eigenschaften von Funktionen

 

Bemerkungen:

Begriffe: Definitions-, Wertebereich, Nullstellen, Symmetrie, Schnittpunkte mit Achsen

 

 

Methoden zur Untersuchung auf diese Eigenschaften anwenden

 

 

Beispiele:

Bestimmen Sie den Schnittpunkt Sy von f(x) = (2x – 4)(x + 3)

 

f(0) = –12, Sy(0| -12)

 

 

Untersuchen Sie auf Nullstellen: f(x) = |2x + 3| - 1

 

x1 = -1, x2 = -2

 

 

Für welchen Wert des Parameters t hat f(x) = 3x + 2t die Nullstelle 2?

 

0 = 6 + 2t, t = -3

 

 

Zeigen Sie, dass y = f(x) = x4 + x2 symmetrisch zur y-Achse verläuft!

 

f(-x) = (-x)4 + (-x)2 = x4 + x2 = f(x)

 

 

 

 

 

 

Lineare Funktionen

 

Bemerkungen:

Die Bedeutung von m (Anstieg) und n (Achsenabschnitt) in der Funktionsgleichung y = mx + n kennen.

 

 

Eigenschaften gegebener linearer Funktionen ermitteln oder beschreiben (Verlauf, Monotonie)

 

 

Gleichungen aus Graphen heraus oder aus gegebenen Eigenschaften aufstellen können

 

 

Graphen anhand der Gleichung sofort skizzieren

 

 

Beispiele:

Geben Sie die Funktionsgleichung(en) der Graphen an!


 

 

g(x) = 2x – 1

h(x) = (– 1)

 

 

Eine lineare Funktion hat den Anstieg 1,5 und schneidet die y-Achse in P(0; 6). Geben Sie eine Gleichung an!
Berechnen Sie die Nullstelle von f!

 


y = f(x) = 1,5x + 6
x0 = (– 4)

 

 

Beschreiben Sie die Monotonie und den Verlauf von: y = f(x) = 2 – x

 

m = -1 < 0, f ist streng monoton fallend
Der Graph verläuft vom II. durch den I. in den IV. Quadranten.

 

 

Bestimmen Sie den Anstieg der linearen Funktion, deren Graph durch die Punkte A(-2; 3) und B(3| -1) verläuft!

 

 

 

Bestimmen Sie die Gleichung einer linearen Funktion, deren Graph orthogonal zu
y = f(x) = 2x + 4 und durch den Ursprung verläuft!

 

m = -0,5, y = - 0,5x

 

 

Eine Gerade schneidet die Koordinatenachsen in A(0; -2) und B(4; 0). Geben Sie eine Funktionsgleichung an!

 

m = 0,5, n = -2
y = 0,5x – 2

 

 

Geben Sie die Gleichung einer zu y = f(x) = 2x + 5 parallelen Geraden durch den Punkt P(2| 2) an!