Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme


 

Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

 

Bemerkungen:

Grundbegriffe: lineare Gleichung, Gleichungssystem, Lösungsmenge ...

 

 

Umformen und Lösen von Gleichungen und einfachsten Gleichungssysteme, Lösungsmengen grafisch deuten

 

 

Beispiele:

Drei Gleichungen mit zwei Variablen sind dargestellt. Geben Sie die Lösungsmengen an für das System aus
a) I und II, b) aus I und III sowie c) aus I, II und III


 

 



a) L = {(2; 1)}

b) L = {(-1; 3)}

c) L =

 

 

Stellen Sie die Gleichung von 4x + 5y = 8

a) nach x

 


a)

 

 

b) nach y um!



 

b)

 

 

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem grafisch!

 

 



L = {(2; 2)}

 

 

Welches Lösungsverfahren ist jeweils bei den folgenden Gleichungssystemen vorteilhaft?

 

 

 

 

a)

 

II in I einsetzen

 

 

b)

 

Gleichsetzungsverfahren

 

 

c)

 

Addition von I und II

 

 

 

 

 

 

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von:

 

 

 

 

 


L = {(4; 8,5)}

 

 

 

 

 

 

Lineare Gleichungsysteme mit mehr als 2 Variablen

 

Bemerkungen:

Das komplette Lösen solcher Systeme ist für tägliche Übungen zu aufwändig.

 

 

Dennoch kann man Aufgaben zu einzelnen Schritten stellen.

 

 

 

 

Beispiele:

Geben Sie eine jeweils einfache Verknüpfung der Gleichungen an, mit der mindestens eine Variable eliminiert wird!

 

 

 

 

a)

 

I + II führt sofort auf 5x = 11

 

 

b)

 

beseitigt x

eliminiert ebenfalls x

 

 

 

 

 

 

 

Lösen Sie das in Dreieckgestalt gegebene System!

 

 

 

 

 

y = 3, z = 3

L = {(-1;3;3)}

 

 

 

 

 

 

 

Ein Gleichungssystem hat die Lösungsmenge L = {(4z – 2 ;14 – 3z ;z)}

Welche Lösung ergibt sich für z = 5?

 

(18; -1; 5)

 

 

 

 

 

 

Sachaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

 

Bemerkungen:

Sachaufgaben in Täglichen Übungen lösen zu lassen erfordert zu viel Zeit. Jedoch könnte man Gleichungen zu vorgegebenen Texten aufstellen lassen.

 

 

 

 

 

 

Beispiele:

Stelle jeweils ein geeignetes Gleichungssystem auf!

 

 

 

 

Die Summe zweier Zahlen beträgt 2009. Subtrahiert man vom Doppelten der größeren Zahl die kleinere, erhält man 2010. Welche Zahlen sind es?

 

I: x + y = 2009

II: 2x – y = 2010

 

 

 

Jemand möchte aus 12%-iger und 5%iger Salzlösung 5 l 10%ige Salzlösung herstellen. Wie viel Liter jeder Sorte muss er verwenden?

 

I: x + y = 5

II: 0,12x + 0,05y = 0,1(x + y)

 

 

 

Die Summe der Kantenlängen eines Quaders beträgt 48 cm. Dabei ist der Quader doppelt so breit wie lang und seine Höhe ist 1 cm größer als seine Länge.

 

I: 4a + 4b + 4c = 48 cm

II: b = 2a

III: c = a + 1 cm