Quadratische Funktionen und Gleichungen



 

Grundlagen, Formen der Funktionsgleichung

 

 

Bemerkungen:

Graphen skizzieren (auch mit Schablone zeichnen)

Punktprobe, Scheitelpunkt aus Graph oder Gleichung angeben, Wertebereich angeben

Eigenschaften aus Graphen ablesen können

Gleichungen aus gegebenen Scheitel angeben

 

 

Bedeutung der Parameter in: f(x) = x2 + c, f(x) = (x + d)2 + e, f(x) = ax2

Umwandeln aus der Scheitelpunktform in die Normalform f(x) = x2 + px + q und umgekehrt

 

 

Beispiele:

Gegeben ist die Funktion y = f(x) = x2 – 2

a) Prüfen Sie ob P(-2| 1.8) auf dem Graphen liegt!

b) Für welche Werte von t liegt Q(t; 7) auf dem Graphen von f?

c) Geben Sie den Scheitelpunkt der Parabel f an!

 



f(-2) = 2, P liegt nicht auf Gf

f(t) = 7, t2 = 9, t = 3, t = -3

S(0| -2)

 

 

Berechnen Sie die Funktionswerte f(3) und f(2 + t) für die Funktion
y = f(x) = (x – 2)2 – 4

 

f(3) = 12 – 4 = -3

f(2 + t) = t2 – 4

 

 

 

Geben Sie die Gleichungen der gegebenen Normalparabeln an!


 

 







f(x) = (x – 1)2 – 3

g(x) = x2 – 1

h(x) = –x2 + 4

 

 

Beschreiben Sie, wie der Graph von g(x) = 2x2 – 3 aus dem Graphen von f(x) = x2 hervorgeht!

 

Der Scheitel von g ist um 3 LE gegenüber nach unten verschoben.

Der Faktor 2 bewirkt eine Streckung des Graphen von g
in y-Richtung.

 

 

 

Geben Sie den Scheitelpunkt an und skizzieren Sie den Graphen von

a) y = f(x) =(x + 2)2 + 1

b) y = g(x) = -x2 + 5

 

a) S(-2| 1); b) S(0| 5)


 

 

 

Bestimmen Sie den maximalen Wertebereich von f(x) = (x – 4)2 – 12.

 

 

S( 4; -12), Öffnung nach oben

 

 

 

Formen Sie in die Normalform um: y = f(x) = (x + 3)2 – 2

 

f(x) = x2 + 6x + 11

 

 

 

Formen Sie in Scheitelpunktform um: f(x) = x2 – 4x + 7

 

f(x) = x2 – 4x + 4 + 3

f(x) = (x – 2)2 + 3

 

 

 

 

 

 

Quadratische Gleichungen

 

 

Bemerkungen:

einfache quadratische Gleichungen vorteilhaft lösen: x2 = c, (x + d)2 + e = 0

Produkte mit dem Wert 0: (ax + b)(cx + d) = 0

Gleichungen durch Faktorisieren umformen: x2 + bx = 0

 

 

sichere Anwendung der Lösungsformel,
(Ob der Begriff Diskriminante einbezogen wird, möge der Fachlehrer selbst entscheiden.)

 

 

Verbindung zu Funktionseigenschaften (Nullstellen, Schnittpunkte) herstellen

 

 

Beispiele:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von x2 – 144 = 0

 

|x| = 12, x = ±12

 

 

 

Lösen Sie: (x + 1)2 – 9 = 0

 

 

 

 

Bestimmen Sie die Nullstellen von: f(x) = x2 – 6x

 

 

 

 

An welchen Stellen schneidet der Graph von y = f(x) = (x – 3)(2x – 3) die x-Achse?

 

 

 

 

Lösen Sie: x2 – 2x = 4x – 8

 

 

 

 

Für welche Werte von a hat die Gleichung x2 + 12x + a

a) genau eine

b) keine Lösung?

 

a) a = 36, x = -6

b) a > 36, Wurzel nicht definiert

 

 

 

Wie hängt die Anzahl der Lösungen von 0 = x2 -2tx + 25 von t ab?

 

|t| > 5: 2 Lösungen

|t| = 5: genau eine Lösung

|t| < 5: keine Lösung

 

 

 

Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat die Nullstellen -2 und 4.

a) Gib ihre Gleichung in Normalform an!

b) Gib den Scheitelpunkt an!

 



y = (x + 2)(x – 4) = x2 – 2x – 8

xs = 1, f(1) = -9, S(1; -9)

 

 

Bestimmen Sie die Lösungen von x6 – 256x2 = 0

 

x2(x4 – 256) = 0

x2(x2 + 16)(x – 4)(x + 4) = 0

x1 = 0, x2 = -4, x3 = 4

 

 

 

In welchen Punkten schneiden sich y = f(x) = x + 4 und y = g(x) = 4 – x2?

 

f(x) = g(x): x(x + 1) = 0

x = 0: P(0; 4)

x = -1: Q = (-1; 3)