Grundlegende Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen




Definitionsbereich, Formen der Funktionsgleichung



Bemerkungen:

Schüler können den Definitionsbereich bestimmen

Kennen verschiedene Formen der Funktionsgleichung und können diese ineinander umformen





Beispiele:

Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion!





a)



D = {x : x 0; x 7}



b)



D = {x : x 4}



c)





D = {x : x 3; x -2a}



Schreiben Sie als Quotient!





a)



b)



c)











Schreiben Sie als Summe!

a)



b)






(Polynomdivision)






Zerlegen Sie in Partialbrüche!*













Lücken, Polstellen und Asymptoten


Bemerkungen:

Erkennen von Nullstellen, Lücken und Polstellen (ohne Grenzwertuntersuchung)

ggf. geschicktes Umformen der Funktionsterme

Aufstellen von Funktionen mit bestimmten Polstellen, Nullstellen und Asymptoten



Beispiele:

Geben Sie alle Asymptoten folgender Funktionen an!





a)


waagerechte Asymptote: y = 0,
denn Grad Nenner > Grad Zähler

Polasymptoten: x = 2; x = -2




b)


waagerechte Asymptote: y = a,

Polasymptoten: x = 0; x = 3a




c)


schräge Asymptote: y = 4x + 5

Polasymptote: x = 2




d)


waagerechte Asymptote: y = 1,

Polasymptoten: x = -t;

Lücke bei x = t (daher keine Asymptote)




e)


waagerechte Asymptote: y = 2,

Polasymptoten: x = 0; x = 3






Die Nennerfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion hat drei Nullstellen, die lineare Zählerfunktion eine.

Wie viele Asymptoten kann diese Funktion

a) mindestens

b) höchstens haben.





Es gibt genau zwei oder genau drei Polstellen.

Es gibt eine horizontale Asymptote: y = 0.

a) mindestens drei Asymptoten

b) höchstens 4 Asymptoten




Geben Sie für die folgenden Funktionen alle Nullstellen, Lücken und Polstellen an! Unterscheiden Sie bei den Polstellen auch gerade und ungerade Ordnung!





a)


Nullstellen: x = 1

Lücken: x = -2

Polstellen gerader Ordnung: -

Polstellen ungerader Ordnung: x = -1






b)


Nullstellen: x = -4

Lücken: x = 0

Polstellen gerader Ordnung: -

Polstellen ungerader Ordnung: x = 7




c)


Nullstellen: keine

Lücken: x = 1

Polstellen gerader Ordnung: x = 0

Polstellen ungerader Ordnung: -




d)


Nullstellen: keine

Lücken: x = 2; x = -2

Polstellen gerader Ordnung: -

Polstellen ungerader Ordnung: -






Geben Sie einen Parameterwert für t so an, dass die Funktion f mit





a) ...eine Nullstelle bei x = 6 hat.


2t – 6 = 0; t = 3




b) ...eine Lücke bei x = 4 hat!


2t – 4 = 0; t = 2




c) … eine Lücke bei x = 2 hat!


2t – 2 = 4 + t; t = 6




d) … eine Polstelle bei x = -1 hat!





2(-1) + t = 0; t = 2






Geben Sie die Gleichung einer gebrochen rationalen Funktion an, die die folgenden Eigenschaften besitzt:





a) Nullstelle bei 2, waagerechte Asymptote y = 0 und Polstelle bei x = -4


Der Grad der Nennerfunktion muss mindestens 2 sein.




b) Lücke bei 3, schräge Asymptote, Polstellen bei x = 1


Grad Zähler = Grad Nenner + 1






c) schräge Asymptote: y = x – 2; zwei Polstellen bei -2 und + 2