Grenzwerte von Funktionen




Grenzwerte für x ±



Bemerkungen:

Schüler können das Verhalten einfacher Funktionen im Unendlichen bestimmen

Funktionsterme können dazu entsprechend umgeformt werden

(zunächst werden nur rationale Funktionen und Wurzelfunktionen betrachtet)





Beispiele:

Bestimmen Sie jeweils das Verhalten der folgenden Funktionen im Unendlichen!





a) f(x) = 2x3 – 4x2 + 5x


x +∞ f → +

x - ∞ f → -




b) f(x) = (x2 – a)(x2 + 2a)


x +∞ f → +

x - ∞ f → +




c) f(x) = ax2 - 4




a > 0:

x +∞ f → +

x - ∞ f → +



a < 0:

x +∞ f → -

x → - ∞ f → -



d)


x → ±∞ f → 0




e)


x → ±∞ f → 4




f)


x +∞ f → -

x → - ∞ f → +




g)


x → ±∞ f →




h) f(x) = |ax - 5|


x +∞ f → +

x - ∞ f → +








Grenzwert an einer Stelle


Bemerkungen:

Schüler können Grenzwerte an einer Stelle rechnerisch bestimmen durch:

(1) direktes Einsetzen

(2) Vereinfachen der Funktionsterme und anschließendes Einsetzen



Beispiele:

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte an der Stelle x.





a) f(x) = x(x + 1)(x + 2) x = 3


g = f(3) = 60




b) x = 5


x 5; x > 5 f → +

x 5; x < 5 f → -




c) f(x) = (x – 2)-4 x = 2


x → 2 f → +




d) ; x = 3


g = 2



e) x = a


g = 0




f) x = -1



Wir betrachten nur

a > 0:

x -1, x < -1 f → +

x -1, x > -1 f → -

a < 0:

x -1, x < -1 f → -

x → -1, x > -1 f → +

Der erste Term 2x beeinflusst das Ergebnis nicht.








Parameter bei Grenzwerten*


Bemerkungen:

Grenzwerte können parameterabhängig sein





Beispiele:

Für welchen Parameterwert t hat die Funktion ft(x) an der Stelle 2 den Grenzwert g?





a) g = 0


6t = 18; t = 3



b) g = 3


-16 = 4; f.A

Für keinen Wert t.