Rationale Funktionen I




Funktionsgleichungen



Bemerkungen:

Typische Gleichungen zu rationalen Funktionen erkennen und durch Umformen bestimmen

Funktionswerte berechnen

Punktprobe durchführen





Beispiele:

Prüfen Sie jeweils ob eine ganzrationale Funktion vorliegt! Formen Sie in die ausmultiplizierte Form um!





a) f(x) = (2x – 6)(x + 3)

b) g(x) = x5(x – 2x-3) + 3,6

c) h(x) = (-4 + 6x0,4)2 + x7

d) i(x) =

e) k(x) =





ja, f(x) = 2x2 – 18

ja, g(x) = x6 – 2x2 + 3,6

nein; h(x) = x7 +36x0,8 – 48x0,4 + 16

nein,

ja, k(x) = 25 - 18x



Entscheiden Sie, ob eine gebrochen-rationale Funktion vorliegt! Schreiben Sie dazu die Funktion in der Struktur eines Quotienten und geben Sie jeweils den Grad des Zähler- und des Nennerpolynoms an!





a) f(x) = 2x - x-1





, ja

Grad Zähler = 2

Grad Nenner = 1




b)


ganzrational mit Brüchen als Koeffizienten!



c) f(x) = (x3 – 4) : (2x + 1) + 1



, ja

Grad Zähler = 3

Grad Nenner = 1




d)





nein, da Wurzeln auftreten



Prüfen Sie, ob der Punkt P(1; 4) auf dem Graphen von f liegt!

a) f(x) = (x2 + 1)(x + 1)

b) f(x) = (5x – 4)4

c)







f(1) = 4; ja

f(1) = 14 = 1 ; nein

f(1) = 4, ja




Berechnen Sie f(-3)!

a) f(x) = (x2 + 5)(2x + 3)

b) f(x) = (3x – 11)4

c)







f(-3) = 14·(-3) = -42

f(-3) = (-20)4 = 160000



Berechnen Sie f(4 + h)

a) f(x) = x2 – 4x + 2

b) f(x) = (x2 – 16)(x – 4)

c)




f(4 + h) = h2 + 4h + 2

f(4 + h) = (h2 + 8h)h = h3 + 8h2












Symmetrie rationaler Funktionen


Bemerkungen:

geometrische Deutung und Nachweis der Symmetrie zur y-Achse und der Zentralsymmetrie zum Ursprung

geometrische Deutung und Nachweis einer gegebenen Symmetrieachse*

geometrische Deutung und Nachweis der Symmetrie zu einem gegebenen Punkt*



Beispiele:

Welche Gleichung muss erfüllt sein, damit eine Funktion

a) symmetrisch zur y-Achse

b) zentralsymmetrisch zum Ursprung

c) symmetrisch zur Geraden x = 5

d) symmetrisch zum Punkt P(2; 4) verläuft?




f(-x) = f(x) für alle x

f(-x ) = -f(x)

f(5 – x) = f(5 + x)

4 – f(2 + x) = f(2 – x) – 4






Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung





a) f(x) = (x2 + 5) x3


f(-x) = (x2 + 5)(-x3) = -f(x)

symmetrisch zum Ursprung (ungerade)




b)


symmetrisch zur y-Achse




c) f(x) = x5 – x2


f(-x) = -x5 – x2 ≠ f(x); ≠ -f(x)

keine solche Symmetrie






Weisen Sie nach, das y = f(x) = x2 – 4x symmetrisch zur Geraden x = 2 verläuft.


f(2 + x) = 4 + 4x + x2 – 8 – 4x = x2 – 4

f(2 – x) = 4 – 4x + x2 – 8 + 4x = x2 – 4

f(2 + x) = f(2 – x)

Symmetrie gezeigt




Geben Sie die Symmetrieachse an von y = x2 – 6x + 5





x = 3




Für welchen Parameterwert a hat die Funktion f(x) = x2 – 4ax + a2 die Symmetrieachse x = 5?





2a = 5; a = 2,5



Nullstellen von Polynomen


Bemerkungen:

Neben der p-q-Formel ist insbesondere der Satz über ein Produkt mit dem Wert 0 anzuwenden.

Ebenfalls sollten die Binomischen Formeln erkannt werden.

In gebrochen-rationalen Funktionen können Nullstellen von Zähler und Nenner bestimmt werden





Beispiele:

Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen

a) f(x) = 6x2 – 3x

b) g(x) = x2 – 36

c) ha(x) = x4 – a2x2

d) i(x) = x3 – 4x2 + 4x

e) k(x) = x5 – 8x2

f) l(x) = x4 – 6x2 + 9

g) m(x) = ax6 – 2x5

h) n(x) = (3ax – 5)(x + 4)(x2 + 5)





3x(2x – 1) = 0; x = 0; x = 0,5

|x| = 6 ; x = 6; x = -6

x2(x – a)(x + a) = 0; x = 0; x = a ; x = -a

x(x – 2)2 = 0; x = 0; x = 2

x2(x3 – 8) = 0; x = 0; x = 2

(x2 – 3)2 = 0; x =

x5(ax – 2) = 0; x = 0; x = 2/a

n(x) = 0; x = 5/(3a); x = -4






Für welche reellen Zahlen ist bei den folgenden rationalen Funktionen der Zähler = 0 für welche der Nenner?





a)


Zähler: Nenner:




b)


Zähler: x = 0; x = -a

Nenner: x =




c)


Zähler: immer positiv

Nenner: x = 0 und x = 2