Zahlenfolgen I




Zahlenfolgen und Zuordnungsvorschriften



Bemerkungen:

Zahlenfolgen logisch um Glieder ergänzen

Folgenglieder berechnen

explizite und rekursive Bildungsvorschrift kennen und anwenden





Beispiele:

Gegeben sind die folgenden Zahlenfolgen. Setzen Sie jeweils um 3 Glieder fort.





a) 2; 5; 8; 11; 14; …

b) 0; 3; 8; 15; 24; 35; ...

c) -128; 64; -32; 16; ...

d) 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ...

e)





17; 20; 23; …

48; 63; 80; …

-8; 4; -2; …

21; 34; 55; …



Gegeben ist die Zahlenfolge (an) durch die Vorschrift: an = (n – 2)(n + 1).

Berechnen Sie die ersten 5 Folgenglieder!







-2; 0; 4; 10; 18




Gegeben ist die Zahlenfolge (an) durch . Bestimmen Sie die ersten 5 Folgenglieder!








Wie viele Glieder der Folge (an) mit an = -20 + 0,05n sind kleiner als 10?


- 20 + 0,05 n < 10

0,05 n < 30

n < 600

Die ersten 599 Glieder sind kleiner als 600.




Untersuchen Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen den Wert 5 annehmen:





a)


; 3n = 6; n = 2

also: a2 = 5




b) bn = 2n - 28


5 = 2n – 28; 2n = 33; n nicht natürlich

Kein an hat den Wert 5.




Geben Sie jeweils eine rekursive Vorschrift an:

a) 3; 5; 7; 9; 11

b) 5; 15; 45; 135; ...

c) 4; 5; 9; 14; 25; 39; 64; ...







an+1 = an + 2; a1 = 3

an+1 = an · 3; a1 = 5

an+2 = an+1 + an; a1 = 4; a2 = 5






Die Folge (an) ist gegeben durch an+1 = an – 5; und a1 = 100. Geben Sie eine explizite Vorschrift an!



an = 105 – 5n




Geben Sie zur Folge an = 2 ·3n eine rekursive Vorschrift an!


an+1 = an · 3; a1 = 6







Arithmetische und geometrische Folgen



Bemerkungen:

Vorschriften für diese Folgen kennen und anwenden

aus Folgengliedern die Vorschrift ermitteln

Aussagen zu Eigenschaften gegebener Folgen treffen



Beispiele:

Eine arithmetische Zahlenfolge hat das Folgenglied a1 = 36 und d = -5.

a) Geben Sie eine explizite Vorschrift an!

b) Zeigen Sie, dass kein Folgenglied den Wert -217 hat!

c) Weisen Sie nach: (an) ist streng monoton fallend.





an = 41 – 5n

-217 = 41 – 5n; n = 258/5, nicht natürlich

an+1 – an = -5 < 0 für jedes n




Für eine arithmetische Folge gilt: a5 = 12; a8 = 33.

Geben Sie eine rekursive und eine explizite Vorschrift an!


3d = 33 – 12 ; d = 7; a1 = -16

an = -23 + 7n

an+1 = an + 7; a1 = -16






Prüfen Sie, ob diese Folgenglieder zu einer arithmetischen Folge gehören können. Geben Sie ggf. eine Vorschrift an.





a) a3 = 4; a6 = 13; a20 = 58


3d = 9; d = 3

14d = 45; d = 45/14

nicht arithmetisch




b) {-20; 28; 48; 68; ...}


Abstände nicht gleich, nicht arithmetisch.




c) -20; 28; 48 (Glieder müssen nicht aufeinander folgend sein.)


Differenzen: 48; 20 d = 4 möglich

Für d = 4 und a1 = -20: an = -24 + 4d






Eine geometrische Zahlenfolge ist gegeben durch q2 = 2 (q > 0) und a5 = 28.





a) Geben Sie eine explizite Vorschrift an!




b) Berechnen Sie a11!


A11 = 224






Untersuchen Sie, ob die folgenden Glieder zu einer geometrischen Folge gehören können!

a) (-0,25); 0,5; (-1); 2; ...

b) 1030000; 103000; 10300; 1030; 103; 10,3; ...

c) a1 = 12; a3 = 3; a7 = 0,3







q = (-2); an = 0,125·(-2)n

q = 0,1; an = 10300000 · 0,1n

nicht geometrisch



Gegeben sind die Folgenglieder a4 = 4 und a8 = 64. Bestimmen Sie eine Vorschrift, so dass die Glieder zu einer





a) arithmetischen Folge


4d = 60; d = 15; a1 = -41

an = -56 + 15n




b) geometrischen Folge gehören!


q4 = 16; q = ±2; a1 = ±0,5

(1) an = 0,25·(-2)n

(2) an = 0,25·2n






Eine geometrische Zahlenfolge mit a1 = 100 ist monoton fallend. Geben Sie einen möglichen wert für q an!



q = 0,4

(0 < q < 1)




Eine geometrische Zahlenfolge mit q = 1,3 ist streng monoton fallend. Was muss für a1 gelten?


a1 < 0