Zahlenfolgen II




Grenzen und Schranken von Zahlenfolgen*



Bemerkungen:

Nachweis von oberen und unteren Schranken

Grenzen angeben können





Beispiele:

Zeigen Sie, dass 2 eine untere Schranke von (an) ist und geben Sie mindestens 2 weitere untere Schranken an!









; 5 > 2; w.A. für alle n

weitere Schranken: 1; 0




Untersuchen Sie auf Beschränktheit: an = 3n - 5



arithmetisch d > 0, nach oben unbeschränkt

untere Grenze: a1 = -2




Gegeben ist die Zahlenfolge (an) durch .

Geben Sie ein Intervall an, in dem alle Glieder liegen!





g = ; a1 = 6

(2,5; 6]



Zwischen welchen Zahlen liegen alle Glieder der Folge (an) = 1000·(-0,8)n?


alternierend, Betrag nimmt ab

[-800; 640]






Zeigen Sie, dass 4 keine obere Schranke von an = 0,001·log2 n ist!


0,001·log2 n < 4; log2 n < 4000

n < 24000

Damit gilt die Ungleichung nicht für alle n!






Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche nicht?

a) Jede beschränkte Zahlenfolge hat eine obere Grenze.

b) Jede monoton fallende Zahlenfolge ist nach oben beschränkt.

c) Jede nach oben beschränkte Zahlenfolge ist auch nach unten beschränkt.

d) Es gibt streng monoton wachsende Folgen, die nach oben beschränkt sind.

e) Wenn eine Zahlenfolge alternierend ist, dann ist sie auch beschränkt.




w

w

f

w

f




Welche Eigenschaften muss eine geometrische Zahlenfolge haben, damit diese beschränkt ist?


|q| < 1




Geben Sie eine monoton fallende Folge mit der unteren Grenze 5 an!









Grenzwertbegriff



Bemerkungen:

Definition des Grenzwertes einer Folge kennen und anwenden*

Aufgaben zu ε-Umgebungen*

Grenzwerte von einfachen Folgen „erkennen“



Beispiele:

Geben Sie jeweils den Grenzwert der folgenden Zahlenfolgen an!





a) an = 40 + 0,5n


g = 40



b)


g = 4



c) an = (-0,5)n·2000





g = 0




g sei Grenzwert einer Zahlenfolge (an). Welche Aussagen sind dann wahr, welche falsch?

a) Alle Zahlenfolgenglieder liegen in einer beliebig kleinen Umgebung von g.

b) Alle außer endlich viele Zahlenfolgenglieder liegen in einer beliebig kleinen Umgebung von g.

c) Nur endlich viele Zahlenfolgenglieder liegen nicht in einer beliebig kleinen Umgebung von g.

d) Die Zahl q mit q g kann dann nicht Grenzwert von an sein.

e) Man kann eine Umgebung zu g so finden, dass alle Folgenglieder in ihr liegen.







f

w

w

w

w



Untersuchen Sie, ab welchem Folgenglied alle weiteren Folgenglieder der Folge in der 0,01-Umgebung von 3 liegen :





a)


; n > 500

ab a501 alle




b) an = 3 + 0,1n


3 + 0,1n – 3 < 0,01; n > 2

bereits ab a3 alle






Wie groß kann ε (ε > 0) sein, damit genau die ersten 10 Glieder der Folge an = 2/n nicht in der ε-Umgebung von 0 liegen?


a10 = 0,2 außerhalb

a11 = 2/11 innerhalb






Geben Sie eine Nullfolge an, die sowohl positive als auch negative Folgenglieder hat!


an = (-0,95)n








Grenzwerte von Zahlenfolgen mit den Grenzwertsätzen bestimmen



Bemerkungen:

einfache Grenzwerte errechnen können, Konvergenzbegriff anwenden

Parameter so bestimmen, dass bestimmte Konvergenzkriterien erfüllt werden


Beispiele:

Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen auf Konvergenz und geben Sie den Grenzwert gegebenenfalls an!





a) an = (n – 3)(4 – n)


bestimmt divergent; g = -



b) an = 48 – 304·0,5n


g = 48



c)




d)










Gegeben ist die Zahlenfolge (an) durch für jedes reelle t.Für welchen Wert von t ist an ...





a) … eine Nullfolge?

b) … divergent?

c) … konvergent mit dem Grenzwert g = 2?


t = 2

t = - 3

t = -8






Berechnen Sie:





a)




b)


g = -1



c)


g = 0







* Diese Themen gehen über das in Thüringen verlangte „erhöhte Anforderungsniveau“ hinaus.